"never ~" は「決して～ない」という意味で、"not"を使うよりも否定が強調されます。
"forget about ~" で「～について忘れる」ということを表します。後ろには人や物事がきます。
ここで使われている"what"は関係代名詞で、"what happened today"で「今日起こった（ところの）こと」となり、what以下が前に掛かってきます。この表現を使った例文をいくつか挙げておきます。
"I don't understand what you are saying."（あなたの言っていることがわかりません。）
"Do you know what is in the box?"（箱の中にあるものがわかりますか？→箱の中に何があるか知っていますか？）
単に"I will never forget about today."としても良いのですが、"what happened"を入れると、「今日起きた出来事そのもの」をより強調することができます。
是非この表現を使ってみて下さい。
I'll never forget about today.
今日のことは絶対忘れない。
never forget で「絶対忘れない」「一生忘れない」ようなニュアンスになります。
about today が「今日のこと」ですね。
例：
I will never forget about this day. I had so much fun.
今日のことは絶対忘れない。本当に楽しかった。
I will never forget about this day. I will hate you forever.
今日のことは忘れない。一生あなたのことを恨む。
ぜひ使ってみてください。
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