事あるごとに は、every time~を使うと表現できます。
例文1
Every time I get a phone call, my husband asks who it was from.
(電話が掛かってくる度に、夫は誰からだったと聞く）
例文2
Every time I complain about my work, my friend suggests to quit it.
(仕事の愚痴を言う度に、友達はそれだったら辞めたら という）
ご参考まで。
He/She starts complaining each time I do something.
色々な言い方があると思うのですが、「ことあるごとに」を以下のように解釈してみました。
He/She nags about almost everything.
（彼/彼女は）ほとんど全てのことに文句を言う。
nag about は文句を言う、悪態をつくという意味ですが、他にも下記のcomplainや、criticize(批評する)などとしてもよいでしょう。
almost everything ＝ほとんど全てのこと、つまり何かにつけて
He/She starts complaining each time I do something.
（彼/彼女は）私が何かをすると毎回文句を言い始める。
complain = 文句、不平を言う
each time = 毎回、〜の度に (every timeとしてもよいでしょう）
日本 
