I have not been able to take lessons for a while because I was busy.
I was too busy to take lessons on DMM.
ご質問ありがとうございます。
「DMM英会話を利用できなくなっていた」を「DMM英会話でレッスンを受けられなかった」に言い換えると、より伝わりやすいかと思います。
Not be able to ... ... することができない」
Take lessons レッスンを受ける
For a while/ long 長い間
Because なぜならば
I was busy 私は忙しかった
また、too ... to 〜 「 ... すぎて〜することができない」という表現を使って、
I was too busy to take lessons on DMM.
訳: 私は忙しすぎて、DMMでレッスンを受けることができなかった。
ということもできます。
他にも様々な表現の仕方がありますので、ご参考までに。