ご質問ありがとうございます。
「〜に負けることなく」として、withoutかnotかどちらでも使えます。
言いたい文を翻訳しますね。
「若い世代」はyoung generationかyounger generationです。
「仕事に尽力している」はputting effort into (his) jobと言えます。
例文：Not to be beaten by the younger generation, he is (great) putting effort into his job.
ご参考いただければ幸いです。
He works hard at his job so that he can keep up with the younger generation.
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーHe works hard at his job so that he can keep up with the younger generation.
「彼は若い世代に負けないよう、仕事に尽力している」
to work hard at one's job で「仕事に尽力する」
ここの「…に負けることなく」は、to keep up with ... 「…に遅れずについていく」を使って表現できます。
ご参考まで！
アメリカ合衆国 
カナダ 
