こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
『ストーリで感情を動かす』は、どんな状況で使用するのか、またはそのブランドや会社が求めるイメージによっても様々な言い方が考えられますので、ここではシンプルな例をいくつか挙げておきますね！
Stories move you. 『ストーリはあなたの心を動かす。』
The story stirs your emotions. 『そのストーリーはあなたの感情を動かす。』
I was moved by the story. 『そのストーリーで心を動かされた。』
また、struck by とか touched by にしても『感銘を受けた、心を打たれた』というような意味になります。
メモ
move 人の心を動かす、感動させる
参考になれば幸いです。
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