「目にする」は「見る」と似ていて、自然に目に入ることだと思うので see になると思います。
よく見る時はだいたいwatch がいいです。例えば、怪しい人が家の前にいて、こっそる見ている時はI'm watching him/her が自然です。I'm seeing him/her はとても変です。自然に目に入るのではなく、意識して、観察しているので watch になります。(例外あります)
もし意識して議論をよく見ているなら I'm watching the debate/discussion (on TV)になると思います。生で見た場合は I watched the discussion/debate in personになります。ちなみに I saw the debate/discussion in person も自然です。I watched a movie/I saw a movie と一緒です。
観察する - to observe, to watch
イギリス 
