仕事ができるようになると、任される仕事が増えてきました。って英語でなんて言うの？

こんばんは。
英訳例の直訳は「私がもっと仕事が得意になるにつれて、彼らはすべき仕事をもっと私に与え始めた」です。
　以下に大まかな文構造と、各表現をご紹介します。

★ 文構造
　この文では学習者を悩ます as を使っています。基本的には as は同時性を示します。今回の文の中でもそうですが、文中の別の要素に着目して意味を捉えます。
　この文の構造は「As + 比較級が含まれる節, 比較級が含まれる文」となっています。このように比較級が双方に含まれると、多くの場合は「〜すればするほど、…だ」という大まかな意味構造になります。

★ 文中の重要ポイント
◆ get better at 〜
　この表現の元となるものは be good at 〜 で、「〜が得意である」という意味です。この表現で動詞を get に替えると「〜が得意になる」という意味になり、good を better に変換すると「〜がより得意になる」という意味に変化します。
　これを踏まえて英訳例の前半部を日本語に訳すと「私が自分の仕事をより上手にできるようになるにつれて」という意味になります。

◆ they've started to 〜「彼らは〜するようになった」
　ここで使う they は、職場の人のことを表します。基本的に自分でもあなたでもない人なので、he、she、they を使いますが、they は単数の人に対しても使うことができます。性別などの区別をしたくない、またはできないときに用いることもできます。また文中の場合の they は、単に「会社が」という意味で、個別の人を刺さずに会社という組織をさすことが可能です。

　またここで現在完了を使っているのは、「彼らが〜し始めた」が、今でもしているので現在完了を使っています。日本語に釣られて英語でも過去形を使うと、それは現在とは切り離された過去ということになり、場合によって「今は違う」というニュアンスを含んでしまうこともあるからです。

　以上ですが、お役に立ちましたでしょうか。

「仕事ができるようになる」は「仕事に慣れる」と解釈できるので、get used to ~「〜に慣れる」というイディオムを完了形にして、have gotten used to ~ で表現できます。get used to ~ は、新しい仕事や環境に慣れる時によく使うので、この場合にも自然な言い回しです。

「〜になると」の状況を考えてみましょう。「〜になった時」という意味で、when や as を使うこともできますが、ネイティブらしい表現 now that をご紹介します。直訳すると「〜である今」になりますが、これを添えるだけで「今や〜なので」というニュアンスで、その状況がどんなか伝わります。

英訳1：workload は「仕事量」、increase は「増える」という意味です。

英訳2：「仕事量」は、the number of things I'm being asked to do「任される仕事の量」と言うのも自然な表現です。

英訳3：「任される仕事」を「責任」と言い換えることもできるので、responsibilities を使ってもOKです。