Squeezing soy sauce and mustard out of the pouch always takes time (and effort).
This is the best idea I've come up with after exhausting my brain.
「絞り出す」は「exhaust」となる場合もありますが、この例文だと「exhaust」は使いません。
この場合の「絞り出す」は「squeeze」です。
Squeezing soy sauce and mustard out of the pouch always takes time (and effort).
小袋から醤油と辛子を絞り出すのはいつも手間かかるな。
「絞り出す」を「exhaust」にしたいなら、以下の文の方が自然な英語です。
This is the best idea I've come up with after exhausting my brain.
脳を絞り出してこれが一番いい思いついた考えです。
We've exhausted all other options; we have no other choice.
他の道は全部使ってしまったよ。他の選択肢はない。