「順番が来る」は it's one's turn のように言えますが、病院などの場合、they call one's name （病院で自分の番がきて、名前が呼ばれることを意味します）と言うこともできます。
例：
I always end up waiting quite a while until they call my name at the hospital.
「病院で自分の順番がくるまで（名前が呼ばれるまで）いつもかなり待つはめになる。」
end up waiting で「待つことになる・待つはめになる」
I always wait for a long time until it's my turn at the hospital.
「病院で順番が来るまでいつも長時間待つ。」
until it's my turn で「私の順番まで・私の順番がくるまで」
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