No matterは、～しようが、になります。一文目は誰が何を言おうが、になります。
Whateverは、何をどんなに、になります。二文目は人が何をどんなに言おうが、になります。
"No matter what anyone says, I'm going to pursue a career as a musician."
（誰が何を言おうと、私はミュージシャンとしてのキャリアを追求するつもりです。）
"Whatever people say, I believe in my own values."
（人々が何を言おうとも、私は自分の価値観を信じています。）
No matter what anyone says =誰が何と言おうと
No matter what they say =やつらが何ていおうと
No matter whatとは「何が何でも」と言う意味です。
質問者さんがおっしゃりたいのは:
I'm going to learn English overseas no matter what anyone says =誰が何と言おうと海外で英語を学ぶんだ
I'm going to get that job no matter what =何が何でもあの仕事を貰うんだ
「誰が何と言おうと」という日本語そのままの表現が英語にもあります。
No matter who says what, ….
他の人たちが…という意味で、主語がothersの場合も。
No matter what others say, ….
また、意訳になりますが、「私が〰するのを何物にも止められない」という表現も。
こちらは後ろに動詞の原形が続きます。
Nothing can stop me to go to study abroad.
日本 
アメリカ合衆国 
