Originally, I wanted to get a dog and make it part of the family, but you did it all by yourself!
ご質問ありがとうございます。
「OOというよりもしろOOだ」はnot OO but rather OO. と言います。上記の英文に使っていませんが、H様の犬にI didn't make you part of the family, rather you became part of the familyと言えます。
回答での英文は「もともと私が犬を保護して家族の一員にしたんだけど、今はむしろ家族の一員になってくれて（犬に）ありがとう」の翻訳です。
ご参考いただければ幸いです。
アメリカ合衆国 
