When I open an old book, it feels almost like I'm breathing the air of the past.
It makes me feel like I've experienced a part of the past.
こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば下記のような表現はいかがでしょうか：
・When I open an old book, it feels almost like I'm breathing the air of the past.
古い本を開くと、過去の（当時の）空気を吸い込んだような気分になります。
・It makes me feel like I've experienced a part of the past.
過去の（当時の）一部を経験したような気分になります。
「当時の」の部分を the past（昔、過去）としましたが、the time、those days のように表現することもできます。
例：
I wonder what it was like in those days.
当時はどんな感じだったのか、気になります。
ぜひ参考にしてください。
アメリカ合衆国 
