熱い油が手にかかって少しやけどしました。すぐに水で冷やそうって英語でなんて言うの？

確かにやけどは痛いですね。しかし早急に適切な処置を施すことで治りがだいぶ早くなるのも事実です。落ち着いて対処しましょう。

シンプルな訳ですが、少し長いので部分に分けて訳しましょう。

熱い油が→with hot oil
手にかかって少しやけどした→I burned my hand lightly
すぐに→immediately
水で冷やそう→I need to apply cold water

とりあえずは一人称で訳しましたが、必要に応じて変えて下さい。

go run it under cold water で「大急ぎで冷たい水（の下）につける」といったニュアンス。tap は「（水道などの）蛇口」のことなので、cold water を the cold tap と言ってもOKです。

英訳1：burn の過去形には、burned の他に burnt もよく使います。
程度を表す「少し」には、副詞の slightly もいいでしょう。

英訳2：「やけど」にあたる単語を使わない言い回しです。splatter「飛び散る」を使って、be splattered with some hot oil で「飛び散った熱い油を受けた」だけで、やけどを暗示できます。