I'll just quickly rinse the cup with water, because there is some milk in it
"I'll just quickly rinse the cup"=「ササっとコップを水でリンスするね」
"with water"＝「水で」
"because there is some milk in it"＝「そこに少し牛乳が入っているから」
"rinse the cup with water"のバリエーションとして"Rinse out the cup with water"というふうに"out"を付けても良いです。("out"をいれると、残っているものを水で完全に流し落とす、というニュアンスがあります）
I'll just rinse the cup quickly because there's a little milk left.
こんにちは！ ご質問ありがとうございます。
ご質問のシチュエーションにぴったりな表現として、
I'll just rinse the cup quickly because there's a little milk left.
「少し牛乳が残っているから、ささっとコップをゆすぐね。」
他にも以下のように言うことができます：
Let me rinse the cup quickly; there's a bit of milk left.
I'll give the cup a quick rinse since it has some milk in it.
アメリカ合衆国 
