回答
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Inoculation with the COVID-19 vaccine has begun.
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COVID-19 vaccination has begun.
ご質問ありがとうございます。
「接種」はinoculationと言います。他の言い方はvaccinationです。日本語の文では「ワクチン」と「接種」が使っていますから、1番目の回答ではinoculationを提案しています。でも、2番目の回答をご覧くださったら、vaccinationの使い方が最も簡単でしょね。
「始まる」はbeginと言います。過去形はbegunですが、この場合は受身形ですので、has begunになります。
ご参考いただければ幸いです。