「次第に」の副詞はgraduallyで表現し,以下のように英語でいうことができます。
The COVID-19 vaccination has been gradually reaching people in Japan.
もしくはワクチンのプログラムの実施が広がってきたという言い方で,
The COVID-19 vaccination program has been gradually taking effect in Japan.
という言い方でも表現できます。
参考になれば幸いです。
The COVID-19 vaccine has gradually become more widely available in Japan.
・The COVID-19 vaccine has gradually become more widely available in Japan.
「日本では新型コロナワクチンが次第に広く受けられるようになってきました。」
→ “広まる” を「利用可能になる」で表す、自然で使いやすい言い方です。
・COVID-19 vaccinations have been gradually expanding in Japan.
「日本では新型コロナのワクチン接種が次第に広がってきています。」
→ “ワクチンそのもの” ではなく “vaccinations(接種)” を主語にしていて自然です。