「自転車を運転する人」は
bicyclist
cyclist
のように言えます。
ただこの場合は、交通安全の旗に使われていることから、自転車を運転する人も自転車に乗ったら車を運転する人と同じように責任を持って運転するように、と言っていると思うので、ドライバーでも良いのかなとも思います。
例:
Once you get on a bicycle, you're considered a driver, so you have to be responsible.
「自転車に乗れば、あなたもドライバーとみなされますので、責任を持って乗りましょう」
ご参考まで!