Nyaoは手術を受けさせるべきじゃなかったって英語でなんて言うの？

私が間違っていた、というニュアンスで言うなら、I shouldn't have ... で「私は…するべきでなかった・するんじゃなかった」を使って表現すると良いでしょう。

ーI shouldn't have let Nyao undergo surgery.
「Nyao に手術を受けさせるんじゃなかった」
let で「〜させる」
to undergo surgery で「手術を受ける」

ーI shouldn't have let the veterinarian operate on Nyao.
「獣医にNyaoの手術をさせるんじゃなかった」
veterinarian で「獣医」
to operate on ... で「…に手術をする」

ご参考まで！