My weakness is that I worry about things too much.
My weakness is that I care too much.
ご質問ありがとうございます。
Satokoさんのおっしゃるように、「私の弱点は…」というのは
My weakness is ....
と表現します。
そのあとは、「私が…すること」と繋げたいので
that I worry about things too much
「私は色々心配しすぎること(が弱点です)」
となります。
また、care 「気にする」という単語を使って
My weakness is that I care too much.
と表現することもできます。
ご参考になれば幸いです。