この場合、次のように言うと良いかなと思います。
ーSo I lost out to your dog.
「つまり、私は君の犬に負けたってわけだ」
to lose out to ... で「…に負ける・遅れをとる」
ーSo you love your dog more than me.
「つまり、君は私より君の犬を愛しているんだね」
このように冗談ぽく言うこともできると思います。
ご参考まで！
1. *Well, I guess I can’t compete with your pet!*
「そりゃあ、君のペットには敵わないな！」という感じの砕けた表現。"can't compete with 〜" は「〜に太刀打ちできない」という意味で、恋愛や冗談でよく使います。
2. *So your pet wins, huh?*
「なるほど、君のペットの勝ちってわけか？」という軽い皮肉やユーモアを込めた言い方。"huh?" をつけることで、少し感情の入ったカジュアルなトーンになります。
カナダ 
アメリカ合衆国 
