「〜てみます」は「try to do 〜」によく訳されますが、この場合は「try to」を入れると自信があまりないように聞こえてしまう可能性があるため、職場で使うのをお勧めしません。
「Try to」なしで同じようなことがいえますので、それで大丈夫だと思います。
「お客さん」は「customer」といいます。
I'll ask the customer.
お客さんに聞きます。
I'll check with the customer.
お客さんに確認します。
どうしても「try」を入れたい時は以下のような文がいいと思います。
I'll try checking with the customer.
お客さんに確認してみます。
I’ll check with the customer.
I’ll ask the client and let you know.
I’ll confirm with the customer.
**check with** や **confirm with** が自然に使える表現です。
* **I’ll check with the customer.**
最もシンプルで自然な表現です。「お客さんに確認してみます」というニュアンス。
* **I’ll ask the client and let you know.**
「クライアントに聞いて、またお知らせします」という意味で、相手に後で返答する意志を伝える丁寧な言い方です。
アメリカ合衆国 
