「〜てみます」は「try to do 〜」によく訳されますが、この場合は「try to」を入れると自信があまりないように聞こえてしまう可能性があるため、職場で使うのをお勧めしません。
「Try to」なしで同じようなことがいえますので、それで大丈夫だと思います。
「お客さん」は「customer」といいます。
I'll ask the customer.
お客さんに聞きます。
I'll check with the customer.
お客さんに確認します。
どうしても「try」を入れたい時は以下のような文がいいと思います。
I'll try checking with the customer.
お客さんに確認してみます。