「初めてご連絡失礼いたします」のような表現は英語で使わないと思います。
実は、日本語の「失礼します」に当たる英語がないときが多いです。
「初めてご連絡失礼いたします」のような表現を入れなくても問題ないと思いますが、入れてみたいなら下記の英語だと大丈夫です。
Excuse me for contacting you out of the blue.
突然のご連絡失礼します。
「Out of the blue」は「突然現れる」という意味です。
以前、全く触れ合いがなかった相手をメールするときに使えます。
Excuse me for contacting you so suddenly.
突然のご連絡で失礼します。
「Suddenly」は「突然」という意味です。
前から知り合っている相手にも使えますし、今まで連絡取り合っていなかった相手にも使えると思います。