彼女の甘えたような眼差し、たまらない！って英語でなんて言うの？

ご質問ありがとうございます。

「甘える」はspoilと言います。例：That child is spoiled.
「眼差し」はこの話ではfaceとかlookとかeyeなどに訳せます。そして、「甘えたような眼差し」はspoiled faceとかspoiled lookと言えます（spoiled eyesはちょっと不自然です。）。でも、そういう眼差しはpoutyという形容詞で説明ができますので、2番目の回答で提案しています。私はこういう文章を言おうと思ったら、2番目の回答みたいな英文を使うかもしれません。

ご参考いただければ幸いです。