日本人の先生のレッスンをとった時先生が「なぜ私を選んだの?」とおっしゃってその理由として国籍関係なく優しそうな先生の授業をとっているといいったんです。優しい先生ならリラックスして話せてそのほうが自然に話せるしコミュニケーションのストレスが最小限に抑えられて英語に集中できるということです。
最初の部分「I can improve speaking English」は「英語で話した方が上達する」を表します。そして、「in a relaxed environment」は「リラックスの環境で」という意味です。「relaxed environment」という言葉は安心できる場所とか、テンションがない場所などを表します。この場合、先生の英語授業でリラックスできるので、「relaxed class environment」でも言えます。
別の言い方で、「I can get better」は「上達できる」という意味です。「I can get better」という表現を使うなら、その後「at」が必要です。この場合、英語で話した方が上達しないので、「I can get better at speaking English」になります。
そして、「if I'm relaxed」は「もし、リラックスしたら」を表します。
つまり、もし「私は授業で)リラックスしたら、英語が話せるようになります。