ご質問ありがとうございます。
That's the house in which they lived.は正しい英文です。inは必ず要ります。普通の話し方ではinが一番最後に言う人も居ますが、この言い方は文法的ではありませんのでご注意ください。例：That's the house which/that they lived in.
1番目の回答では他のより簡単な言い方を提案しております。
ご参考いただければ幸いです。
“That is the house they lived in.”
→ 「あれは彼らが住んでいた家です。」
この形は会話で一般的です。“which” が省略されていて、口語的で自然です。
リズムのよい自然な話し言葉になります。
“That is the house in which they lived.”
→ 「あれは彼らが住んでいた家です。」
アメリカ合衆国 
