書いた通り惜しかったです。両方とも「pick you up」の方が正しいです。
２つ文章の中にネーディブスピーカーは言えるはずが、「I didn't pick you up because I overslept」の方が自然だと思います。
もし、謝る気持ちを伝えたいなら、最初に、「I'm sorry」を追加できます。そうすると、「I'm sorry, I didn't pick you up because I overslept」になります。
ご参考になれば幸いです。
ご質問ありがとうございます。
「（人を）迎えに行く」という場合は、pick (someone) up のように「人」が真ん中にきます。
また、go を付け加えることによって
I overslept so I couldn't go pick you up.
「寝坊をしてしまて、あなたのことを迎えに行けなかった」
というように、寝坊をしてしまったので「行く」ことができなかったことが強調されます。
また、
I didn't pick you up because I overslept.
「あなたのことを迎えにいかなかったのは、寝坊しちゃったからなんだ」
というように表現もできます。
ご参考になれば幸いです。
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