ーI'll be careful not to fall asleep while I'm driving.
「運転中に寝ないように気をつけるよ」
I'll be careful not to ... で「〜しないように気をつけるよ」
to fall asleep で「寝入る・眠り込む」
while I'm driving で「私が運転中に」
ーI'll try not to drift off at the wheel.
「居眠り運転しないようにするよ」
to drift off で「眠りに落ちる・知らない間に寝る」
at the wheel で「ハンドルを握って・運転して」
to drift off at the wheel で「居眠り運転する」
I'll try not to ... で「…しないようにする」
ご参考まで！
ご質問ありがとうございます。
・I will try not to 〇〇
＝「私は〇〇をしないように気をつけます。」
（例文）I will try not to eat too much.
（訳）私は食べすぎないように気をつけます。
・I will try not to fall asleep while driving.
＝「運転中寝ないように気をつけるよ」
（例文）I will try not to fall asleep while driving.// Drive safely!
（訳）運転中寝ないように気をつけるよ//安全運転ね！（気をつけて運転してね）
お役に立てれば嬉しいです。
Coco
カナダ 
日本 
