I wonder what I can ask my family to get me for my birthday.
ーI wonder what I should ask for on my birthday.
「誕生日に何をお願いしようかなあ」
I wonder what I should ... で「何を…しようかなあ」
to ask for で「おねだりする・要求する」
ーI wonder what I can ask my family to get me for my birthday.
「誕生日に家族に何を買ってもらおうかなあ」
I wonder what I can ... で「何を…できるだろう」
to ask my family to get ... で「家族に…を買うようお願いする」
ご参考まで！
カナダ 
