この「ゴム」は英語で rubber bands、orthodontic bands や elastics と言います。
「輪ゴム」も rubber band なので、誤解を招かないように 「rubber bands for braces」を言ったほうがいいと思います。
歯列矯正器/矯正器具 - Braces
「ゴム掛け」のような名詞は英語にはないかもしれません。
How to put rubber bands (elastics) on braces や How to apply elastics/rubber bands to braces （矯正器具のゴムの付け方)/ Elastics 101 の動画はユーチューブにたくさんあります。
I got rubber bands for my braces - 矯正器具に(顎間)ゴムを付けた。
ゴムかけを始める - I'm going to start wearing rubber bands on my braces / I'm going to start using orthodontic bands
イギリス 
