I work part-time at this convenience store, but I'm thinking of quitting.
「ここのコンビニが僕の夜間のバイト先ですが、辞めようかと思っています」を分けて説明します。
前半の「ここのコンビニが僕の夜間のバイト先です」は、
I work part-time at this convenience store at night.といいます。
「バイト先」をちょって言い換えで「バイトをやる」という意味でI work part-timeとなります。
前半の「辞めようかと思っています」は、
I'm thinking of quitting.といいます。
I'm thinking ofは「~しようかと思っている」という意味です。
基本的に後に動名詞を付けるので、辞めるのquitをquittingとして使っています。
また、「夜間バイトは厳しい」というのは、
A night job is tough. / A job at night is difficult.
と言えます。