何も必要ない。
I need nothing. は正しい表現です。
I don't need anything. nothingは完全否定の言葉ですので、notを使うときは、not~any = nothingの意味になります。
I have nothing to need.
haveを使うなら、I have nothing to need. 必要とすものは何もない。ということです。
この場合 I need nothing. という言い方は不自然ですね。ものすごく強調したいときに使えなくはないですが、通常は使いません。
I don't need nothing. は don't と nothing を使うことで二重否定になってしまい、文法的に間違いです。
「何も必要ない」は
ーI don't need anything.
ーI don't need a thing.
と言うのが正しいです。
ご参考まで！
* I don't need anything.
直訳は「私は何も必要としない」＝「何もいらない」です。
日常会話でよく使う形です。
anything は「何か（＝何でも）」なので、否定の don't と一緒になると「何も〜ない」になります。
* I need nothing.
意味は「何も必要ない」で合っています。
ただし言い方が少しかたい／強めに聞こえます。
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