ーI gave birth to my second son on May 19th.
「5月19日に第二子の息子を出産しました」
to give birth で「出産する」
one's second son で「第二子の息子」
ーWe had our second son on the nineteenth of May.
「5月19日に次男を出産しました」
one's second son で「次男」
ーBoth mother and baby are healthy.
「母子ともに健康です」
healthy で「健康な」
ーI look forward to seeing you all.
「みなんさんにお目にかかれるのを楽しみにしています」
英語には「これからもよろしくお願いいたします」という決まった言い方がないので、この場合は上のように言うのが良いでしょう。
ご参考まで!