June is the only month that doesn’t have a national holiday in Japan.
June only does not have national holiday in Japan.
このパターンで行くのなら
-> Only June does not have any national holidays in Japan.
June is the only month that doesn’t have a national holiday in Japan.
のほうが自然だと思います。
他
- In Japan, June is the only month without a national holiday.
- June is the only month in Japan that doesn’t have any national holidays.
June is the only month without a national holiday in Japan.
takashiさんの英文ですが、only doesn't have という言い方は不自然です。
June does not have any national holidays in Japan.
「日本で6月には祝祭日が1つもない」
のように言えば良いですが、少し意味が変わってしまいます。
ですので先の方の回答の言い方または下のような言い方をすると良いでしょう。
ーJune is the only month without a national holiday in Japan.
「6月は日本で唯一祝祭日のない月です」
without a national holiday で「祝祭日のない」
ご参考まで！
アメリカ合衆国 
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