ご質問ありがとうございます。
「発行する」の英訳は場面によって違いますが、この場合ではcreate（作る）とprocessが使えると思います。
「少々お持ちください」はplease wait a momentと言います。よりカジュアルな言い方はplease wait a bitとかplease give me a secondです。
3番目の文法は表現的に自然ですが、上記の回答の全てをどんな時でも使えます。
ご参考いただければ幸いです。
■ Please wait a moment while we issue your ID.
「IDを発行しますので少々お待ちください」
→ while を使うことで「〜している間」という自然な案内表現
■ We will issue your ID, so please wait a moment.
「IDを発行しますので、少々お待ちください」
アメリカ合衆国 
