例えば、英語で何かお願い事や頼み事を説明した時に上手く伝わっているか分からず「Do you know what I'm talking about?」 などと聞いた後に思っていた内容の返答が来たときの安心した気持ちを相手に伝える表現を教えて欲しいです。
「話が通じて安心した」は英訳すれば、「I'm relieved that you got what I said.」になります。
まず、「I'm relieved」は「安心した」という意味です。その後、「you got what I said」は「(私の)話を通じて」を表します。
別の言い方「I'm relieved that you were able to understand me.」にも言えます。
日本語だと「理解してくれて安心した」という意味です。