ご質問ありがとうございます。
おめでとうございます！Chiaki様が一番自然な言い方を見つけました！笑
他の言い方はThis is the dog that's owned by my friend's teacherですが、この言い方は丁寧すぎて、誰も使わないかもしれません。
ご参考いただければ幸いです。
This dog belongs to a teacher of a friend of mine.
This is a picture of my friend's Karate teacher's dog.
ーThis dog belongs to a teacher of a friend of mine.
「この犬は私の友人の先生のものです」
to belong to で「〜に属する・〜のものである」
ーThis is a picture of my friend's Karate teacher's dog.
「これは友達の空手の先生の犬の写真です」
my friend's 〇〇 teacher's dog「友達の〇〇の先生の犬」のようにも言えます。
ご参考まで！
This is a dog belonging to my friend, who is a teacher.
This is my friend's dog. She's a teacher!
・my friend, who is a teacher
「講師をしている私の友人」と説明する形です。これなら「友人」と「講師」が同一人物であることがはっきり伝わります。
・This is my friend's dog.
「友人の犬です」と言い切ってその後に She/He is a teacher! と補足すれば、キャプションとして読みやすくなります。
・a teacher friend of mine
「講師仲間（講師をしている友人）」というニュアンスです。This is a dog of a teacher friend of mine. のように使えます。
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