ご質問ありがとうございます。
おめでとうございます!Chiaki様が一番自然な言い方を見つけました!笑
他の言い方はThis is the dog that's owned by my friend's teacherですが、この言い方は丁寧すぎて、誰も使わないかもしれません。
ご参考いただければ幸いです。
This dog belongs to a teacher of a friend of mine.
This is a picture of my friend's Karate teacher's dog.
ーThis dog belongs to a teacher of a friend of mine.
「この犬は私の友人の先生のものです」
to belong to で「〜に属する・〜のものである」
ーThis is a picture of my friend's Karate teacher's dog.
「これは友達の空手の先生の犬の写真です」
my friend's 〇〇 teacher's dog「友達の〇〇の先生の犬」のようにも言えます。
ご参考まで!