途中でやめそうになったって英語でなんて言うの？

ーI almost gave up part way through ...
「…の途中でやめそうになった」
to give up で「やめる・あきらめる」
part way through で「途中で」

例：
I almost gave up drawing pictures after a while, but I kept at it for one month.
「後に絵を描くことをやめそうになったが、頑張って１ヶ月続けた」
to draw pictures で「絵を描く」
ここでは「途中で」は after a while「後に・しばらくして」を使って言っても自然で良いですよ。
to keep at it で「頑張って続ける」

ご参考まで！