ご質問ありがとうございます。
「Complain of bad health」と「Complain of one's bad health」は文法的に両方とも正しいです。できました、主語がありましたら、もっと自然になります。
例えば、「He complains of his bad health almost every day.」彼は毎日自分の体調不良を訴える。
また
People who don't exercise tend to complain of one's bad health.
一般的な言い方「あまり運動しない人は体調不良を訴える傾向です。」
つまり、主語による両方英文は問題ありませんということです。
どっちもから一つ選ばなきゃいけない場合、「Complain of bad health」は良いと思います。
ご参考になれば幸いです。
「体調不良を訴える」には、"Complain of feeling unwell" や "Complain of bad health" といった表現が使えます。
"complain of bad health" と "complain of one's bad health" については、一般的には "complain of bad health" の方がより自然で口語的です。また、「体調不良」といった意味では "feeling unwell" という表現もよく使われます。
"Complain of one's bad health" は、特定の人（one'sが具体的に示された人物）の体調について話す場合に使うことができます。
アメリカ合衆国 
