Recently, when I've been watching dramas, the VPN suddenly cuts out.
Recently, when I've been watching dramas, the VPN suddenly gets cut off.
ご質問ありがとうございます。
get cut offを受身形で使うのが自然ですね。そんな言い方で主語が「私」です。でも、cut offよりcuts outの方が自然な言い方だと思います。他の言い方はstops workingです。
例:Recently, when I've been watching dramas, the VPN suddenly stops working.
ご参考になれば幸いです。