I studied abroad with no particular purpose, just for the experience.
with no particular purpose は「特に目的もなく」の意味で、何のあてもなく行動することを表現しています。
just for the experience は「ただ経験のために」で、人生修業や経験としての留学であることを示しています。
別の言い方として、I went abroad aimlessly to learn about life. も使えます。
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーEven though I didn't have any definite goal in mind, I decided to study abroad because I thought it would be a good life experience.
「なんのあてもなかったが、良い人生経験になると思ったので留学することにした」
without any definite goal in mind で「なんのあてもなく」と言えます。
ここでは to not have any definite goal in mind で「なんのあてもない」
ご参考まで!