When I start practicing a new piece, I can't play it at all in the beginning. I can only play it very slowly.
But the more I practice, I start gradually to be able to play it, and I get the feeling that my playing begins to resemble what it's supposed to sound like.
This process is what I really enjoy.
ご質問ありがとうございます。
"When I start practicing a new piece, I can't play it at all in the beginning."＝「新しい曲を練習し始めると、最初は全然弾けません。」
"I can only play it very slowly."＝「とてもゆっくりしか弾けません。」
"But the more I practice, I start gradually to be able to play it,"＝「でも、練習すればするほど、徐々に弾けるようになってきます」
"and I get the feeling that my playing begins to resemble what it's supposed to sound like."＝「そして実際に聞くようなものに自分の演奏が似てきているという感じを得ます。」
"This process is what I really enjoy."＝「この過程がとても楽しいです。」
ご参考に。
まず、「だんだんと弾けるようになっているという実感」をシンプルに表現すると、
I love the feeling of gradually getting better. 『だんだんと上達しているという感覚が大好きです。』
「gradually」は「だんだんと、徐々に」という意味で、「getting better」は「良くなる、上達する」という意味です。「the feeling of」で「〜という感覚」を表現しています。
また、努力が報われるというニュアンスを込めるなら、「It's rewarding to see my progress」がぴったりです。
It's rewarding to see my progress. 『自分の進歩を見るのはやりがいがあります。』
アメリカ合衆国 
