My food just went down the wrong way, that's why I'm coughing.
My drink went down the wrong way and made me cough.
食べ物や飲み物にむせることを英語で
to go down the wrong way を使って表現します。
これは「（食べ物や飲み物が）気管に入る」という意味です。
ーMy food just went down the wrong way, that's why I'm coughing.
「食べ物にむせて咳をしてるんだ」
ーMy drink went down the wrong way and made me cough.
「飲み物にむせて咳が出るんだ」
to cough で「咳をする・咳き込む」
ご参考まで！
「食べ物とか飲み物がのどに引っ掛かる」という状況は英語で「The food or drink got caught in my throat.」と表現できます。
got caught: 引っ掛かった
in my throat: のどに
「Don't worry, I'm just choking on something small.」といえば、「心配しないでね。ちょっとしたものが引っ掛かっただけだよ」。
カナダ 
アメリカ合衆国 
