As soon as cold-like symptoms appear, it's important to rest right away.
At the onset of a common cold, it's important to sleep, not force it but rather take plenty of rest, so that way the cold doesn't get worse.
ご質問ありがとうございます。
この場合、「風邪の兆候が出たときは早めの休息が大切」は英語で「As soon as cold-like symptoms appear, it's important to rest right away.」と言えます。
順番的に和文と英文は一緒です。「As soon as cold-like symptoms appear」は「風邪の兆候が出たとき」を表します。
そして、「it's important to rest right away.」は「早めの休息が大切」という意味です。
また、少し長くなりますが、「風邪のひき始めにきちんと寝たり、無理をしないなど適度な休息をとることが風邪を悪化させないためには重要です」は英訳すると「At the onset of a common cold, it's important to sleep, not force it but rather take plenty of rest, so that way the cold doesn't get worse.」になります。
この英文の方がコンテキストでわかりやすいと思います。風邪に関して、言いたいことはっきり伝えられるはずです。
ご参考になれば幸いです。