A lack of sleep gradually takes a toll in the person's health
ご質問ありがとうございます。
この場合、「undermine」や「take a toll」はどっぢも使えますが、私的に「take a toll」の方が使いそうです。
ですので、「徐々に蝕む」はそのまま英訳すると「gradually takes a toll」になります。
また、「睡眠不足は徐々に健康を蝕む」という文章も英語にする場合、「A lack of sleep gradually takes a toll in the person's health」になります。
ご参考になれば幸いです。