ーI said something the wrong way, so I felt really stupid.
「言い間違いをして、すごい恥ずかしい思いをした」
I feel really stupid. で「すごく（自分が）バカみたいな気がする」
この言い方が自然かと思います。
ーI walked into the men's side of the Onsen by mistake and burned with shame as soon as I realized it.
「間違えて男湯の方に入ってしまい、気が付いた時、顔から火が出るほど恥ずかしかった」
もっと日本語に近い言い方をするなら、to burn with shame と言うことができます。
ご参考まで！
カナダ 
