I bawled my eyes out.
〔訳〕大泣きしました。
bawl one's eyes out も「大泣きする」という意味のイディオムです。
bawl
【自動-1】〔大声で〕怒鳴る、叫ぶ
【自動-2】〈話〉大声で泣く
【他動】〔大声で〕～と叫ぶ
〔英辞郎 より〕
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例）
I bawled my eyes out when I saw the film for the first time.
〔Daily Mail-Nov 7, 2016 より〕
↓
〔訳〕この映画を初めて見たとき、大泣きしました。
参考にしてください、
ありがとうございました。
「嗚咽が出るほど泣いてしまった」は、「激しく泣く」という意味ですから、
cry one's eyes out というイディオムを使い、
I cried my eyes out.（eyes は heart でもOK)
と言い表せます。
(「泣いて、目(心）が飛び出てしまった」というのが直訳で「激しく泣く」という意味ですね）
あるいは、そのまま
I sobbed (with grief).とシンプルにも言い表せます。
(sob は、「むせび泣く」 grief は、「悲しみ」で、「悲しみでむせび泣く」という意味です）
なお、sobは「嗚咽」という名詞にもなります。
(例文・”I am sorry," she said between sobs.
(《ごめんなさい》と彼女は嗚咽交じりの声で言った）
参考になりましたら幸いです。
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