おしっこされたら嫌だから、先にオムツはかせちゃうね！って英語でなんて言うの？

はかせる＝put on おしっこされる前に=before he pees という言い方が短くて簡単かなと思います。 Let me XX（動詞）で、「（私に）XXさせて」という意味です。 カジュアルな会話でよく聞く表現です。

おっしゃられている内容は、以下のようにも表現できると思いました(*^_^*) He might pee, so I'll put a diaper on him now. 「彼はおしっこするかもしれないから、今彼にオムツを履かせるね」 pee「しっこする put A on B「AをBに着せる」 以上です。 少しでも参考になれば幸いです(*^_^*)