Let me talk with Abe-san about him running for city council.
「阿部さんに打診してみます」はLet me ~/ I will ~という言い方ができます。他にも、talk, ask, contact が使えます。
これらの表現は印象としてはちょっと押しが強い印象。
その場にいる人達が一致したcontextにいることが前提で使う方がいいでしょう。
I will talk to Abe-san / Let me talk with Abe-san
I will ask Abe-san / Let me ask Abe-san
I will contact Abe-san / Let me contact Abe-san
普通だったら、Can I ~?という表現を使うといいですよ。
「市会議員に立候補する」はrun for city council
「市会議員」などの英訳は行政制度が国によって違うので英訳が必ずしも伝わるとは限らないという前提で伝えてください。
アメリカ合衆国 
