That nurse wrote down the doctor's message on the back of his(her) hand so he(she) wouldn't forget.
「あの看護師は医師の伝達を忘れないように手の甲にボールペンで書き留めた」
That nurse wrote down the doctor's message on the back of his(her) hand so he(she) wouldn't forget.
that nurse = あの看護師
write down = 書き留める
「書き留める」というのはnote downやmake a noteも使えます。
doctor = 医師・医者
message = 伝達
場合によって、「伝達」というのはinformation(情報)またはinstructions(指示)にもなります。
the back of one's(his/her) hand = 手の甲
「手のひら」の場合はthe palm of one's handです。
...so he(she) wouldn't forget = 忘れないように
アメリカ合衆国 
