I'm supposed to be living in this apartment from today.
I'll be living in this apartment from today.
From today, I'll be living in this apartment.
ご質問ありがとうございます。
おっしゃったように「I’m supposed to be living in this apartment 」はほとんど良いです。「今日から」=「from today」を文末に付ければ、ちょうど良いと思います。
「I'm supposed to be」の代わりに、簡単に「I'll be」を言っても大丈夫です。
後は「from today」は文頭に来ても構いません。
ご参考になれば幸いです。